Question

已知函數(shù)f（x）=x²+4x+3，
（1）若g（x）=f（x）+bx為偶函數(shù)，求b．
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求得g（x）的解析式，再由 g（-x）=g（x），求得b的值．
（2）設(shè)x₂＞x₁≥-2，滑簡f（x₂）-f（x₁） 等于（x₂-x₁） （x₂+x₁+4）＞0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+4x+3，g（x）=f（x）+bx=x²+（4+b）x+3 為偶函數(shù)，∴g（-x）=g（x），
即 （-x）²+（4+b）（-x）+3=x²+（4+b）x+3，解得 4+b=0，b=-4．
（2）設(shè)x₂＞x₁≥-2，由于f（x₂）-f（x₁）=x22+4x2+3-（x12+4x1+3）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁） （x₂+x₁+4），
由題設(shè)可得x₂-x₁＞0，x₂+x₁+4＞0，∴（x₂-x₁） （x₂+x₁+4）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．