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如下圖,已知△OFQ的面積為S,且·=1,

(1)若S的范圍為<S<2,求向量的夾角θ的取值范圍;
(2)設||=c(c≥2),S=c,若以O為中心,F為焦點的橢圓經過點Q,當||取得最小值時,求此橢圓的方程.
(1) <θ<arctan4.
(2) 橢圓方程為.
本題考查向量的基本知識、三角知識及最值問題在解析幾何中的綜合運用.
(1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.
||·||·sin(180°-θ)=S,
∴tanθ=2S,S=.
<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
<θ<arctan4.
(2)以所在的直線為x軸,以的過O點的垂線為y軸建立直角坐標系(如下圖).

O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0).
設橢圓方程為+=1.
·=1,S=c,
∴(c,0)·(x0c,y0)="1.                                                                                            " ①
·c·|y0|=c.                                                                                                 
由①得c(x0c)=1x0=c+.
由②得|y0|=.
∴||==.
c≥2,
∴當c=2時,||min==,
此時Q(,±),F(2,0).
代入橢圓方程得
a2=10,b2=6.
∴橢圓方程為.
評析:新知識(向量)在幾何中的應用是值得關注的趨勢.
練習冊系列答案
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