Question

（2011•寧德模擬）如圖，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分別為BE，AE，BC的中點．
（Ⅰ） 求證：直線DE與平面FGH平行；
（Ⅱ）若點P在直線GF上，且二面角D-BP-A的大小為

π

4

，試確定點P的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明線與面平行，可以先找線與線平行，即在平面FGH內找一條直線與直線DE平行，故取AD得中點M，連接GM即可
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用法向量表示二面角的大小，特別注意利用點P在直線GF上的特點，設出動點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）證明：取AD的中點M，連接MH，MG．
∵G，H，F分別是AE，BC，BE的中點，
∴MH∥AB，GF∥AB，
∴MH∥GF，即GFHM四點共面
又由M，G是中點，可得MG∥DE
因為DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，
∴DE∥平面MGFH，即直線DE與平面FGH平行．
（Ⅱ）解：如圖，在平面ABE內，過A作AB的垂線，記為AP，則AP⊥平面ABCD．
以A為原點，AP、AB、AD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立建立空間直角坐標系A-xyz．A(0 ，0 ，0) ，B(0 ，4 ，0) ，D(0 ，0 ，2) ，E(2

3

，-2，0) ，G(

3

，-1，0)，F(

3

，1，0)．
∴

GF

=(0 ，2 ，0)，

BD

=(0 ，-4，2)，

BG

=(

3

 ，-5，0)． 
設

GP

=λ

GF

=(0 ，2λ ，0)，則

BP

=

BG

+

GP

=(

3

 ，2λ-5，0)．
設平面PBD的法向量為

n

₁=（x，y，z），
則

n 1• BP =0 n 1• BD =0

∴

3 x+(2λ-5)y=0 -4y+2z=0.

取y=

3

，得z=2

3

，x=5-2λ，
∴

n

1=(5-2λ ，

3

 ，2

3

)．
又平面ABP的法向量為

n

₂=（0，0，1），
∴cos?

n

1，

n

2＞=

n1• n 2

| n 1|•| n 2|

=

2 3

(5-2λ)2+3+12

=

2

2

解得λ=1或4．
故

GP

=

GF

或

GP

=4

GF

∴P(

3

，1，0)或P(

3

，7，0)

點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．