Question

2．已知函數f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）解不等式f（f（x））+f（$\frac{3}{8}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可，
（2）根據函數單調性的定義，利用定義法進行證明，
（3）根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）由2^x+1＞1得函數的定義域為R，
又f（-x）+f（x）=$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-1=1-1=0．
則f（-x）=-f（x），
 故f（x）為奇函數．         
（2）f（x）為R上的減函數    證明如下：
任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）為R上的減函數．
（3）由（1）（2）知f（x）在R上是奇函數且單調遞減，
由f（f（x））+f（$\frac{3}{8}$）＜0得f（f（x））＜-f（$\frac{3}{8}$）=f（-$\frac{3}{8}$），
則f（x）＞-$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{3}{8}$，
即2^x＜7，得x＜log₂7，
故不等式的解集為（-∞，log₂7）．

點評 本題主要函數奇偶性和單調性判斷，利用函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．考查學生的轉化能力．