Question

點P（x，y）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一點，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，且∠F₁PF₂≤90°，則該橢圓的離心率e的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  2

  2

  ]
• B．[

  2

  2

  ，1)
• C．（0，1）
• D．[

  2

  2

  ，

  2

  ]

Answer 1

分析：由題設條件可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，此時 cos∠F₁PF₂=

a2+a2-(2c) 2

2a•a

=

a2-2c2

a2

≥0，得到a和c之間的關系，由此能夠推導出該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：由題意可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，
此時 cos∠F₁PF₂=

a2+a2-(2c) 2

2a•a

=

a2-2c2

a2

≥0，∴a≥

2

c，
∴e=

c

a

≤

2

2

，
又∵0＜e＜1，
∴0＜e≤

2

2

．
故選A．

點評：本題考查橢圓的性質及其應用，難度不大，正確解題的關鍵是知道當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大．同時要注意橢圓離心率的取值范圍是（0，1）．