Question

8．在R上定義運算?：x?y=x（1+y），若不等式：（x-a）?（x+a）＜2對實數x∈[-2，2]恒成立，則a的范圍為（-∞，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由定義可知：（x-a）?（x+a）＜2 轉換為不等式 x²+x-a²-a-2＜0 在x∈[-2，2]上恒成立，即：x²+x＜a²+a+2 在x∈[-2，2]上恒成立．

解答 解：由定義可知：（x-a）?（x+a）＜2 轉換為：
（x-a）[1+（x+a）]＜2⇒不等式 x²+x-a²-a-2＜0 在x∈[-2，2]上恒成立；
即：x²+x＜a²+a+2  在x∈[-2，2]上恒成立；
令g（x）=x²+x，則g（x）在[-2，2]上g（x）的最大值為g（2）=6；
所以，a²+a+2＞6；
解得：$a＞\frac{{-1+\sqrt{17}}}{2}$或$a＜\frac{{-1-\sqrt{17}}}{2}$；
故答案為：（-∞，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，+∞）

點評 本題主要考查了考生對新定義的理解與應用，同時考查了分離參數法以及轉化思想的應用，屬中等題．