Question

對于給定數列，如果存在實常數,使得對于任意都成立，我們稱數列是 “類數列”．

   （Ⅰ）若，，，數列、是否為“類數列”？若是，指出它對應的實常數，若不是，請說明理由；

   （Ⅱ）證明：若數列是“類數列”，則數列也是“類數列”；

   （Ⅲ）若數列滿足，，為常數．求數列前2012項的和．并判斷是否為“類數列”，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因為則有

        故數列是“類數列”，對應的實常數分別為    …………… 1分

        因為，則有，.

        故數列是“類數列”，對應的實常數分別為.   …………… 3分

        （Ⅱ）證明：若數列是“類數列”，則存在實常數，

        使得對于任意都成立，

        且有對于任意都成立，            

        因此對于任意都成立，

        故數列也是“類數列”．                        

        對應的實常數分別為．                           ……………6分

      

   （Ⅲ）因為  則有，，    

    故數列前2012項的和

        +++

       ……………9分

    若數列是“類數列”， 則存在實常數

      使得對于任意都成立，

      且有對于任意都成立，

      因此對于任意都成立，

      而，且，

      則有對于任意都成立，可以得到

         ，

      當時，，，，經檢驗滿足條件.

      當 時，，，經檢驗滿足條件.

      因此當且僅當或時，數列是“類數列”.

      對應的實常數分別為或．               ………………… 13分

 

【解析】略