Question

）如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點

（Ⅰ）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓方程；

（Ⅱ）已知:直線相交于，兩點（不是橢圓的左右頂點），并滿足 試研究：直線是否過定點？ 若過定點，請求出定點坐標，若不過定點，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）直線過定點，定點坐標為 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得：，解這個方程組求出a、c即得橢圓的標準方程

（Ⅱ）將直線方程與橢圓的方程聯立，

將直線方程代入橢圓方程得：

用韋達定理找到點，的坐標與k、m的關系

再由可得A、B的坐標間的一個關系式，由此消去得m、k之間的關系式，用此關系式將直線的方程中的參數m或k換掉一個，由此即可看出直線是否恒過一個定點 

試題解析：（Ⅰ）由已知與（Ⅰ）得：，，

，， 

橢圓的標準方程為    4分

（Ⅱ）設，，

聯立

得，

又，

因為橢圓的右頂點為，

，即，

，

，

 

解得：

，，且均滿足，

當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；

當時，的方程為，直線過定點 

所以，直線過定點，定點坐標為 

考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關系