Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ABB₁和BCC₁B₁是兩個全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D為AC的中點．
（1）求證：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求證：B₁C∥平面A₁DB．

Answer 1

分析：（1）欲證平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁，即證平面內一直線與另一平面垂直，根據直線與平面垂直的判定定理證得B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，再根據面面垂直的判定定理得證；
（2）由（I）知BC，BB₁，BA兩兩垂直，如圖以B為原點建立空間直角坐標系B-xyz，設正方形邊長為1，求出平面A₁DB的一個法向量，只需計算該法向量與

B1C

的數量積是否為零即可．

解答：證明：（1）∵AC₁⊥平面A₁DB，A₁B?平面A₁DB，
∴AC₁⊥A₁B，又在正方形A₁ABB₁中，A₁B⊥AB₁，AC₁∩AB₁=A，
∴A₁B⊥面AC₁B₁，又B₁C₁?面AC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又∵在正方形BCC₁B₁中有，B₁C₁⊥BB₁，又BB₁∩A₁B=B，
∴B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，B₁C₁?平面B₁BCC₁，
所以平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁．
（2）由（I）知BC，BB₁，BA兩兩垂直，
如圖以B為原點建立空間直角坐標系B-xyz，
設正方形邊長為1，則C（1，0，0），C₁（1，1，0），B₁（0，1，0），A₁（0，1，1），A（0，0，1）
D（

1

2

，0，

1

2

），
由AC₁⊥平面A₁DB，得平面A₁DB的法向量為

n

=

AC1

=(1，1，-1)，
∵

B1C

=(1，-1，0)，
∴

B1C

•

n

=(1，-1，0)•(1，1，-1)=1-1+0=0，
又B₁C?平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．