Question

7．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，若a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，則b+c的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，于是b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin$（\frac{2π}{3}-B）$=2$\sqrt{3}$sin$（B+\frac{π}{6}）$，再利用三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin$（\frac{2π}{3}-B）$
=2sinB+2$（\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}sinB）$=3sinB+$\sqrt{3}$cosB
=2$\sqrt{3}$sin$（B+\frac{π}{6}）$≤2$\sqrt{3}$，當且僅當B=$\frac{π}{3}$時取等號．
∴b+c的最大值為2$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．