Question

已知等比數列{a_n}和等差數列{b_n}，且a_n＝2ⁿ，b_n＝3n＋2，設數列{a_n}，{b_n}中的共同項由小到大排列組成數列{c_n}．

求出數列{c_n}的通項公式c_n．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設數列{an}中的第n項與數列{bn}中的第m項相同，即an＝bm，亦即2n＝3m＋2． ∵2n＋1＝2·2n＝2(3m＋2)＝6m＋4＝3(2m＋1)＋1 2n＋1被3除余1．∴數列{an}中的第n＋1項不在{bn}中， 又∵2n＋2＝22·2n＝4(3m＋2)＝12m＋8＝3(4m＋2)＋2 2n＋2被3除余2．∴數列{an}中的第n＋2項在{bn}中． 由此可知：當an在數列{bn}中時，其后每隔一項也都在{bn}中，由于23＝3B×2＋2，所以數列{an}中從第3項開始的所有奇數項均在{bn}中，而所有偶數項都不在{bn}中． ∴兩個數列的公共項cn＝22n＋1＝2·4n(n∈N*) 解法二：由an＝bm，得2n＝3m＋2 ∴2n－2＝3m．即2n－2是3的倍數． 當n＝2k＋1(k∈N*)時，2n－2＝22k＋1－2＝2(4k－1)＝2(4－1)(4k－1＋4k－2＋…＋4＋1)是3的倍數； 當n＝2k(k∈N*)時，2n－2＝22k－2＝(4k－1)－1不是3的倍數． ∴cn＝22n＋1＝2·4n．