Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

．
（1）當a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，根據f′（x）＞0，可得f（x）在定義域上的單調性；
（2）求導函數，分類討論，確定函數f（x）在[1，e]上的單調性，利用f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，即可求a的值．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞），且f′（x）=

x+a

x2

∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定義域上單調遞增；
（2）由（1）知，f′（x）=

x+a

x2

①若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數
∵f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

（舍去）
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數，
∴f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，∴a=-

e

2

（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上為減函數；
當-a＜x＜e時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

．
綜上可知：a=-

e

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．