Question

設直線?與橢圓相交于A、B兩點，?又與雙曲線x²-y²=1相交于C、D兩點，C、D三等分線段AB．求直線?的方程．

Answer 1

【答案】分析：先看當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+b，l與橢圓、雙曲線的交點為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）直線方程分別橢圓和雙曲線方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₃+x₄的表達式，進而根據求得k=0或b=0，分別求得k=0時和b=0時直線方程；進而看直線l與x軸垂直時，設直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可求得交點坐標，根據求得c，最后綜合可得答案．
解答：解：首先討論l不與x軸垂直時的情況，設直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，

l與橢圓、雙曲線的交點為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
依題意有，
由
∴

若k=±1，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意，故k≠±1∴
由


故l的方程為
（ii）當b=0時，由（1）得
由
故l的方程為
再討論l與x軸垂直的情況．
設直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，綜上所述，
故l的方程為、和
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．當直線與圓錐曲線相交時，應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．