Question

如圖：點P在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線BC₁上運動，則下列四個命題：
①C₁B與平面ABCD所成的角為45°；
②三棱錐A-D₁PC的體積不變；
③A₁P∥面ACD₁；
④DP⊥BC₁．
其中正確的命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：對于①，CB為C₁B在平面ABCD中的射影，所以∠C₁BC為C₁B與平面ABCD所成的角，等于45°；
對于②，可以證明BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離均相等，所以三棱錐A-D₁PC的體積不變；
對于③，可證面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由面面平行的性質可得A₁P∥面ACD₁；
對于④，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾．

解答：解：對于①，CB為C₁B在平面ABCD中的射影，所以∠C₁BC為C₁B與平面ABCD所成的角，等于45°，故正確；
對于②，∵AD₁∥BC₁，BC₁?平面AD₁C，AD₁?平面AD₁C，∴BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點，平面AD₁C為底面，三棱錐A-D₁PC的體積不變，故正確；
對于③，連接A₁B，A₁C₁，則A₁C₁∥AC，∵AD₁∥BC₁∴面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由面面平行的性質可得A₁P∥面ACD₁，故正確；
對于④，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾，故不正確；
綜上知，①②③
故答案為：①②③

點評：本題考查三棱錐體積求法中的等體積法，考查線面平行、垂直的判定，考查線面角，綜合性強．