【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為 (t為參數).以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ(a>0),且曲線C與直線l有且僅有一個公共點.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)設A、B為曲線C上的兩點,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵直線l的參數方程為 (t為參數),
∴直線l的普通方程是x+ ﹣3=0,
∵曲線C的極坐標方程為ρ=2acosθ(a>0),
∴曲線C的直角坐標方程是(x﹣a)2+y2=a2,
依題意直線l與圓相切,則d= =a,
解得a=﹣3,或a=1,
∵a>0,∴a=1.
(Ⅱ)如圖,不妨設A(ρ1,θ),B(ρ2, ),
則ρ1=2cosθ, ,
|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos( )=3cosθ﹣
=2
cos(
),
∴θ+ =2kπ,即
,k∈Z時,|OA|+|OB|最大值是2
.
【解析】(Ⅰ)直線l的參數方程消去參數,能求出直線l的普通方程;由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的直角坐標方程,依題意直線l與圓相切,由此能求出a的值.(Ⅱ)設A(ρ1,θ),B(ρ2, ),則|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2cosθ+2cos(
)=3cosθ﹣
=2
cos(
),由此能求出|OA|+|OB|的最大值.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試,一種通常采用的測試方法如下:拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗,要求其按品質優劣為它們排序;經過一段時間,等其記憶淡忘之后,再讓其品嘗這n瓶酒,并重新按品質優劣為它們排序,這稱為一輪測試.根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分. 現設n=4,分別以a1 , a2 , a3 , a4表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號,并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|,
則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.
(Ⅰ)寫出X的可能值集合;
(Ⅱ)假設a1 , a2 , a3 , a4等可能地為1,2,3,4的各種排列,求X的分布列;
(Ⅲ)某品酒師在相繼進行的三輪測試中,都有X≤2,
①試按(Ⅱ)中的結果,計算出現這種現象的概率(假定各輪測試相互獨立);②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何?說明理由.
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【題目】規定:點P(x,y)按向量 平移后的點為Q(x+a,y+b).若函數
的圖象按向量
=(j,k)且|j|
平移后的圖象對應的函數是
+1.
(1)試求向量 的坐標;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知f(2A)+2cos(B+C)=1, ①求角A的大小;
②若a=6,求b+c的取值范圍.
另外:最后一小題也可用“余弦定理結合基本不等式”求解.
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【題目】已知向量 =(sinx,1),
=(2cosx,3),x∈R.
(1)當 =λ
時,求實數λ和tanx的值;
(2)設函數f(x)=
,求f(x)的最小正周期和單調遞減區間.
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【題目】某廠每日生產一種大型產品2件,每件產品的投入成本為1000元.產品質量為一等品的概率為0.5,二等品的概率為0.4,每件一等品的出廠價為5000元,每件二等品的出廠價為4000元,若產品質量不能達到一等品或二等品,除成本不能收回外,每生產1件產品還會帶來1000元的損失.
(Ⅰ)求在連續生產的3天中,恰有兩天生產的2件產品都為一等品的概率;
(Ⅱ)已知該廠某日生產的這種大型產品2件中有1件為一等品,求另1件也為一等品的概率;
(Ⅲ)求該廠每日生產這種產品所獲利潤ξ(元)的分布列和期望.
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【題目】以直角坐標系的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數方程為 ,(t為參數,0<θ<π),曲線C的極坐標方程為ρsin2α﹣2cosα=0.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,當θ變化時,求|AB|的最小值.
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【題目】折紙已經成為開發少年兒童智力的一大重要工具和手段.已知在折疊“愛心”的過程中會產生如圖所示的幾何圖形,其中四邊形ABCD為正方形,G為線段BC的中點,四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形,連接EB,CI,則向多邊形AEFGHID中投擲一點,該點落在陰影部分內的概率為 .
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