Question

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：欲求PQ中點M的軌跡方程，需知P、Q的坐標．思路一，P、Q是直線l與拋物線C的交點，故需求直線l的方程，再與拋物線C的方程聯立，利用韋達定理、中點坐標公式可求得M的軌跡方程；思路二，設出P、Q的坐標，利用P、Q的坐標滿足拋物線C的方程，代入拋物線C的方程相減得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的軌跡方程．
解答：解：設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x，y），依題意知x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=x²，①
得y′=x．
∴過點P的切線的斜率k_切=x₁，∴直線l的斜率k_l=-=-，
直線l的方程為y-x₁²=-（x-x₁）．②
方法一：聯立①②消去y，得x²+x-x₁²-2=0．
∵M為PQ的中點，
∴x==-，y=x₁²-（x-x₁）．消去x₁，得y=x²++1（x≠0），
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²++1（x≠0）．
方法二：由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x=，
得y₁-y₂=x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x（x₁-x₂），則x==k_l=-，
∴x₁=-．
將上式代入②并整理，得y=x²++1（x≠0），
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²++1（x≠0）．
點評：本題考查拋物線的應用，及軌跡方程的求法，關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，中點坐標公式進行求解．