Question

已知以a₁為首項的數列{a_n}滿足：a_n+1=
（1）當a₁=1，c=1，d=3時，求數列{a_n}的通項公式
（2）當0＜a₁＜1，c=1，d=3時，試用a₁表示數列{a_n}的前100項的和S₁₀₀
（3）當0＜a₁＜（m是正整數），c=，d≥3m時，求證：數列a₂-，a_3m+2-，a_6m+2-，a_9m+2-成等比數列當且僅當d=3m．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得
（2）由題意知，，，所以S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₆）++（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）==．
（3）由題設條件可知，當d=3m時，數列，，，
是公比為的等比數列；當d≥3m+1時，，，
故數列，不是等比數列．所以，數列，成等比數列當且僅當d=3m
解答：解：（1）由題意得
（2）當0＜a₁＜1時，a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a₄=a₁+3，
，，，，，
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）
=
=
=
（3）當d=3m時，，
∵，
∴；
∵
∴；
∵，
∴，
∴，，，
∴
綜上所述，當d=3m時，數列，，，
是公比為的等比數列
當d≥3m+1時，，
，
，
，
由于，，
故數列，不是等比數列
所以，數列，
成等比數列當且僅當d=3m
點評：本題考查數列的性質及其應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出錯．