【題目】在四棱柱
中，已知底面
為等腰梯形，
，
，M，N分別是棱
，
的中點
（1）證明：直線
平面
；
（2）若
平面，且
，求經過點A，M，N的平面
與平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中點P，連結
，證得
，利用線平行的判定定理，即可證得直線
平面
；
（2）以
所在的直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求得平面
和平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.
（1）取的中點P，連結
，
，所以
，且
，
所以
，且
，所以
是平行四邊形，所以，
因為
平面，所以直線平面.
（2）連結
，
由己知可得，
，所以
為等邊三角形，
所以
，
，所以
，
即
，所以
，
分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
， 所以
，
，
可得
，
，
，
.
設平面的法向量為
，所以
，即
，取
，解得
，所以
，
設平面的一個法向量為
，
，即
，
取
，可得
，所以
，
設平面與平面所成二面角的大小為
，
所以
，則
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
經過點
，兩個焦點為
，
．
（1）求
的方程；
（2）設
是上一點，直線
與直線
相交于點
，與直線
相交于點
，證明：當
點在上移動時，
為定值，并求此定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為：
，（
為參數），以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
（1）求曲線和直線l的直角坐標方程；
（2）若點
在曲線上，且點到直線l的距離最小，求點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正項數列
，
滿足：對任意正整數
，都有
，
，
成等差數列，，，
成等比數列，且
，
．
（Ⅰ）求證：數列
是等差數列；
（Ⅱ）求數列，的通項公式；
（Ⅲ）設
=
+
+…+
，如果對任意的正整數，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點，現以AE為折痕將△DAE向上折起，D變為D'，使得平面D'AE⊥平面ABCE．
（1）求證：平面ABD'⊥平面BD'E；
（2）求直線CE與平面BCD'所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從參加高三模擬考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績(均為整數)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
求分數在[120,130)內的頻率，并補全這個頻
率分布直方圖；
統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點
值作為代表，據此估計本次考試的平均分；
(3)用分層抽樣的方法在分數段為[110,130)的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2個，求至多有1人在分數段[120,130)內的概率．
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