Question

橢圓上任一點P到兩個焦點的距離的和為6，焦距為，A，B分別是橢圓的左右頂點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）設C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點，D為C關于y軸的對稱點，四邊形ABCD的面積為S（x），設，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得，2a=6，，再據b²=a²-c²求出b²的值，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設P（x，y），利用斜率公式及P在橢圓上求得k₁和k₂ 的解析式，從而計算出 k₁•k₂的值．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，求出S（x），可得函數f（x）的解析式，利用導數判斷單調性，
從而求出極值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，2a=6，∴a=3．
又，∴，b²=a²-c²=1，故橢圓的方程為．
（Ⅱ）設P（x，y）（y≠0），A（-3，0），B（3，0），，則，即，則，即 ，∴k₁•k₂為定值 ．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，則 ，且，
于是， （0＜x＜3），
．  令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
當0＜x＜1，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當1＜x＜3，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
所以f（x）在x=1時取得極大值，也是最大值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，以及利用導數判斷函數的單調性求函數的極值．