Question

給出兩條直線l₁和l₂,斜率存在且不為0,如果滿足斜率互為相反數,且在y軸上的截距相等,那么直線l₁和l₂叫做“孿生直線”.

(1)現在給出4條直線的參數方程如下:

l₁:(t為參數);

l₂:(t為參數);

l₃:(t為參數);

l₄:(t為參數).

其中構成“孿生直線”的是__________________.

(2)給出由參數方程表示的直線l₁:(t為參數),直線l₂:(t為參數),

那么,根據定義,直線l₁、直線l₂構成“孿生直線”的條件是_______________.

Answer 1

思路解析：根據條件,兩條直線構成“孿生直線”意味著它的斜率存在不為0,互為相反數,且在y軸的截距相等,也就是在y軸上交于同一點.對于題(1),首先可以判斷出其斜率分別為-1,1,-1,1,斜率互為相反數條件很明顯,再判斷在y軸上的截距.令x=0得出相應的t值,代入y可得只有直線l₁和直線l₄在y軸上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以構成“孿生直線”.對于題(2)首先寫出相應斜率分別是tanα₁和tanα₂,因此要tanα₁=-tanα₂,即tanα₁+tanα₂=0；然后再考慮在y軸上的截距,首先在l₁的參數方程中,令x=x₁+tcosα₁=0,可得t=,代入得y=y₁-x₁tanα₁.同理可得直線l₂在y軸上的截距是y=y₂-x₂tanα₂.由定義中的條件“截距相等”可得y₁-x₁tanα₁=y₂-x₂tanα₂,即y₁-y₂=x₁tanα₁-x₂tanα₂.

如果把tanα₁=-tanα₂代入式子還可以進一步得到y₁-y₂=x₁tanα₁+x₂tanα₁,即y₁-y₂=(x₁+x₂)tanα₁.

答案：（1）直線l₁和直線l₄

（2）tanα₁+tanα₂=0且y₁-y₂=x₁tanα₁-x₂tanα₂〔也可以寫出y₁-y₂=(x₁+x₂)tanα₁〕.