Question

已知f(x)=sin4x+cos4x+2sin3xcosx-sinxcosx-

3

4

．
（1）求f（x）的周期和單調減區間；
（2）設A為銳角三角形的內角，且f(A)=

1

4

，求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）通過配方利用平方關系式、二倍角公式，然后利用兩角和的余弦函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，即可求f（x）的周期和單調減區間；
（2）設A為銳角三角形的內角，利用f(A)=

1

4

，結合A的范圍求出A的值，然后求出tanA的值．

解答：解：（1）因為f(x)=sin4x+cos4x+2sin3xcosx-sinxcosx-

3

4

=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x+sinxcosx（2sin²x-1）-

3

4

=

1

4

-

1

2

sin22x-

1

2

sin2xcos2x
=

1

4

-

1

4

(1-cos4x)-

1

4

sin4x
=

1

4

(cos4x-sin4x)
=

2

4

cos(4x+

π

4

)．
∴f（x）的周期為：

2π

4

=

π

2

，
因為2kπ≤4x+

π

4

≤ 2kπ+π   ，k∈Z，
所以

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

   k∈Z
函數的單調減區間為[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

]     k∈Z．
（2）由f（A）=

2

4

cos(4A+

π

4

)=

1

4

，得cos(4A+

π

4

)=

2

2

∵0＜A＜

π

2

∴

π

4

＜4A+

π

4

＜

9π

4

，4A+

π

4

=

7π

4

，
2A=

3π

4

．
于是tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-1，
解得tanA=1+

2

或tanA=1-

2

，
因為tanA＞0，
∴tanA=1+

2

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，平方關系式，二倍角公式，兩角和的余弦函數的應用，考查計算能力．