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如圖,邊長為2的正方形ABCD垂直于△ABE所在的平面,且AE=1,BE=
3

(1)求證:平面ADE⊥平面BCE;
(2)設線段EC的中點為F,求二面角A-FB-E的余弦值.
分析:(1)由AE=1,BE=
3
,AB=2,知∠AEB=
π
2
,再由正方形ABCD⊥平面ABE,AD⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,能夠證明平面ADE⊥平面BCE.
(2)以A為原點,AB、AD分別為y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,利用向量法能夠求出二面角A-FB-E的余弦值.
解答:(本題滿分12分)
(1)證明:∵AE=1,BE=
3
,AB=2,∴∠AEB=
π
2

又正方形ABCD⊥平面ABE,AD⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,
∴AD⊥平面ABE,
∴AD⊥BE∴BE⊥平面ADE,∴BE?平面BCE,
∴平面ADE⊥平面BCE.…(6分)
(2)解:以A為原點,AB、AD分別為y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,
則B(0,2,0),C(0,2,2),E(
3
2
1
2
,0
),F(
3
4
5
4
,1
),
AB
=(0,2,0)
AF
=(
3
4
5
4
,1)

AE
=(
3
2
1
2
,0)

設平面ABF的法向量為
n
=(x,y,z)

2y=0
3
4
x+
5
4
y+z=0
,取
n
=(1,0,-
3
4
)

而平面BEF的法向量為
AE
=(
3
2
1
2
,0)

∴cos<
AE
n
>=
3
2
1+
3
16
=
2
57
19

結合圖形知,二面角A-FB-E的余弦值為
2
57
19
.…(12分)
點評:本題考查平面與平面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意向量法的合理運用.
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;(說明:“正三角形PAB沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉,當頂點B落在x軸上時,再以頂點B為中心順時針旋轉,如此繼續;類似地,正三角形PAB也可以沿x軸負方向逆時針滾動)

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(2011•洛陽一模)如圖放置的邊長為1的正三角形ABC沿x軸的正方向滾動,設頂點A(x,y)的縱坐標與橫坐標的函數關系是y=f(x).則f(x)在兩個相鄰零點間的圖象與x軸圍成的面積是
3
+
3
4
3
+
3
4

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;  y=f(x)在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區域的面積為
 

(說明:“正方形PABC 沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉,當頂點B落在x軸上時,再以頂點B為中心順時針旋轉,如此繼續.類似地,正方形PABC可以沿x軸負方向滾動.)

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