Question

如圖，邊長為a的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC上，且，將△AED、△CFD分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點，連結A¢B．

（Ⅰ）判斷直線EF與A¢D的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）異面垂直;（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）先證明A¢D⊥面A¢EF即可得EF與A¢D的位置關系是異面垂直；
（Ⅱ）先作出并證明ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角，再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.
試題解析：（Ⅰ）A¢D⊥EF．       1分
證明如下：因為A¢D⊥A¢E，A¢D⊥A¢F，
所以A¢D⊥面A¢EF，又EFÌ面A¢EF，
所以A¢D⊥EF．直線EF與A¢D的位置關系是異面垂直    4分

（Ⅱ）方法一、設EF、BD相交于O，連結A¢O，作FH⊥A¢B于H，              
連結OH， 因為EF⊥BD，  EF⊥A¢D．
所以EF⊥面A¢BD，A¢BÌ面A¢BD， 所以A¢B⊥EF，又A¢B⊥FH，
故A¢B⊥面OFH，OHÌ面OFH，      所以A¢B⊥OH，
故ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角．
，A¢E＝A¢F＝，EF＝，則，
所以，△A¢EF是直角三角形，則，
則，，∴，，
則A¢B＝，所以，
所以， tanÐOHF＝，故ÐOHF＝．
所以二面角F－A¢B－D的大小為．   12分
方法二、設EF、BD相交于O，連結A¢O，作于G，可得A¢G⊥面BEDF，
，A¢E＝A¢F＝，EF＝，則，

所以，△A¢EF是直角三角形，則，
則，則，
∴，，
所以，，則，
分別以BF、BE為空間直角坐標系的x、y軸，建立如圖坐標系，則，， ，，故，，，，
因，，故面A¢BD的一個法向量，
設面A¢BF的一法向量為，則取，
設二面角F－A¢B－D的平面角為，則，∴，
故二面角F－A¢B－D的大小為． 12分