Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，E，F分別是AB，BC的中點．
（1）求證：EF∥平面A₁BC₁；
（2）求證：平面D₁DBB₁⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，則AC∥A₁C₁，E，F分別是AB，BC的中點，可得EF∥AC，然后再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）因為BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥B₁D₁，然后利用平面與平面垂直的判定定理進行證明；
解答：解：（1）連接AC，則AC∥A₁C₁，而E，F分別是AB，BC的中點，
∴EF∥AC，
則EF∥A₁C₁，故EF∥平面A₁BC₁（7分）
（2）因為BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁，又A₁C₁⊥B₁D₁，
則A₁C₁⊥平面D₁DBB₁（12分）
又A₁C₁?平面A₁BC₁，所以平面D₁DBB₁⊥平面A₁BC₁（14分）
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷，此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．