Question

【題目】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且當(dāng)時，是與2m的等差中項(xiàng)為實(shí)數(shù).

（1）求m的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，4.

【解析】

（1）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，求得的表達(dá)式.利用，結(jié)合是等比數(shù)列，求得的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）由（1）求得的表達(dá)式，將不等式左邊看成，利用差比較法判斷出的單調(diào)性，由此求得的最小值，進(jìn)而求得的最大值.

1是與2m的等差中項(xiàng)， ，即，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，是等比數(shù)列，，則，

，且數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

2存在正整數(shù)k，使不等式恒成立，k的最大值為4.

，

數(shù)列單調(diào)遞增，，

由不等式恒成立得：，.

故存在正整數(shù)k，使不等式恒成立，k的最大值為4.