Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″是f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．請你根據這一發現，求：函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

對稱中心為

（

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數解析式求拐點的縱坐標．

解答：解：依題意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
又 f（

1

2

）=1，
∴函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

對稱中心為（

1

2

，1）
故答案為：（

1

2

，1）

點評：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件．