Question

設

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[0，

π

2

]，求x的值；
（2）若函數g（x）=cos(ωx-

π

3

)+k（ω＞0，k∈R）與f（x）的最小正周期相同，且g（x）的圖象過點（

π

6

，2），求函數g（x）的值域及單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）由已知根據平面向量的數量積公式，結合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，將函數的解析式化為正弦型函數的形式，進而根據正弦型函數的性質，結合已知x的范圍可求滿足f（x）=0的x
（2）由（1）中函數的解析式，及g（

π

6

）=2可求k，結合余弦型函數的值域及單調性，可求出函數g（x）的值域單調遞增區間

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（3分）
由f（x）=0得2sin(2x+

π

6

)+1=0
∴sin(2x+

π

6

)=-

1

2

∵x∈[0，

π

2

]∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴2x+

π

6

=

7π

6

∴x=

π

2

…（6分）
（2）由（1）知T=π∴ω=

2π

π

=2…（8分）g(

π

6

)=cos(

π

3

-

π

3

)+k=2∴k=1…（10分）
∴g（x）=cos(2x-

π

3

)+1cos(2x-

π

3

)∈[-1，1]
∴g（x）的值域為[0，2]，單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈z)．…（12分）

點評：本題考查向量數量積的運算律、二倍角公式、輔助角公式在三角函數化簡中的應用、正弦函數及余弦函數的性質的考查