Question

已知橢圓E：的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且圓C：過A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當(dāng)β-α=時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上．
（3）直線BC過坐標(biāo)原點(diǎn)，與橢圓E相交于B，C，點(diǎn)Q為橢圓E上的一點(diǎn)，若直線QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不為0，求證：k_QB•k_QC為定植．

Answer 1

（1）解：∵圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
∴，∴b=3，
∴橢圓方程是：．…（4分）
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），
所以=tanβ=，=tanα=，
因?yàn)棣?α=，所以tan（β-α）=-．
因?yàn)閠an（β-α）==，所以=-，
化簡(jiǎn)得x²+y²-2y=3，所以點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上．…（10分）
（3）證明：設(shè)B（m，n），Q（x′，y′），則C（-m，-n）
∴k_QB•k_QC==
∵，
∴兩式相減可得
∴=
∴k_QB•k_QC=…（12分）
分析：（1）求出圓與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定橢圓E的方程；
（2）確定tanβ、tanα，利用兩角差的正切公式，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（3）求出直線QB，QC的斜率，利用點(diǎn)在橢圓上，代入作差，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查兩角差的正切公式，考查斜率的計(jì)算，屬于中檔題．