Question

如圖；在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=2，AB=6，動點P在以點C為圓心且與直線BD相切的圓上運動，設

AP

=m

AD

+n

AB

(m，n∈R)，則m+n的取值范圍是

[1，

5

3

]

．

Answer 1

分析：建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程；設出P的坐標，求出三個向量的坐標，將P的坐標用m，n表示，代入圓內方程求出范圍．

解答：解：以A為坐標原點，AB為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系，則A（0，0），D（0，2），C（2，2），B（6，0）
直線BD的方程為x+3y-6=0，C到BD的距離d=

2

10

=

10

5

∴以點C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為（x-2）²+（y-2）²=

2

5

，
設P（x，y）則

AP

=（x，y），

AD

=（0，2），

AB

=（6，0）
∴（x，y）=（6n，2m）
∴x=6n，y=2m，
∵P在圓內或圓上
∴（6n-1）²+（2m-1）²≤

2

5

，
解得1≤m+n≤

5

3

．
故答案為：[1，

5

3

]．

點評：通過建立直角坐標系將問題代數化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標公式．