Question

（2013•鄭州一模）某高校組織自主招生考試，共有2000名優秀學生參加筆試，成績均介于195分到275分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分成八組：第一組[195，205），第二組[205，215），…，第八組[265，275]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分 布直方圖，且筆試成績在260分（含260分）以上的同學進入面試．
（I）估計所有參加筆試的2 000名學生中，參加 面試的學生人數；
（II）面試時，每位考生抽取三個問題，若三個問題全答錯，則不能取得該校的自主招生資格；若三個問題均回答正確且筆試成績在270分以上，則獲A類資格；其它情況下獲B類資格．現已知某中學有三人獲得面試資格，且僅有一人筆試成績為270分以上，在回答三個面試問題時，三人對每一個問題正確回答的概率均為

1

2

，用隨機變量X表示該中學獲得B類資格的人數，求X的分布列及期望EX．

Answer 1

分析：（1）設第i（i=1，2…8）組的頻率為f_i，可得f₇，可得成績在260分以上的同學的概率P≈

f7

2

+f8=0.14，可得所求約為2000×0.14=280人；
（2）不妨設三位同學為甲、乙、丙，且甲的成績在270以上，記事件M，N，R，分別表示甲、乙、丙獲得B類資格的事件，分別可得所以P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），列表可得X的分布列，進而可得期望值．

解答：解：（1）設第i（i=1，2…8）組的頻率為f_i，
則由頻率分布直方圖知：
f₇=1-（0.004+0.01+0.01+0.02+0.02+0.016+0.008）×10=0.12，
所以成績在260分以上的同學的概率P≈

f7

2

+f8=0.14，
故這2000名同學中，取得面試資格的約為2000×0.14=280人．-----（4分）
（2）不妨設三位同學為甲、乙、丙，且甲的成績在270以上，
記事件M，N，R，分別表示甲、乙、丙獲得B類資格的事件，
則P（N）=P（R）=1-

1

8

=

7

8

，----（6分）
所以P（X=0）=P（

.

M

.

N

.

R

）=

1

256

，
P（X=1）=P（M

.

N

.

R

+

.

M

N

.

R

+

.

M

.

N

R）=

17

256

，
P（X=2）=P（MN

.

R

+

.

M

NR+M

.

N

R）=

91

256

，
P（X=3）=P（MNR）=

147

256

所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 256	17 256	91 256	147 256

∴EX=0×

1

256

+1×

17

256

+2×

91

256

+3×

147

256

=

5

2

----（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，以及期望的求解，屬中檔題．