Question

使得函數的值域為的實數對
有(    )對

A．1

B．2

C．3

D．無數

Answer 1

B

解析試題分析：為開口向上的拋物線，所以x在[2，+∞)上單調遞增，在(-∞，2]上單調遞減
（1） 2≤a<b，此時[a，b]在f(x)的單調增區間上則最大值b=f(b)，最小值a=f(a)，即a、b為方程x=f(x)的兩根。
x=，即=0的兩根為a、b，
由韋達定理，ab=-7，即a、b異號，這與0<2<a<b矛盾，所以這種情況不可能。
（2） a<b≤2，此時[a，b]在f(x)的單調減區間上，
則最大值b= ①，最小值a= ②
由①-②，得，
由于a<b，所以a-b≠0，可得-1=，a+b=-1可得a=-1-b，將其代入①，得且b=-1-a，將其代入②，的， 則a、b為方程的兩根，，解得x=1，-2，由于a<b，所以a=-2，b=1，滿足a<b≤2，所以(a，b)=(-2，1)是一組解。
（3） a<2<b，此時[a，b]包含x=2
則最小值a=f(2)=-，滿足a<2，而f(x)在[a，2]上單調減，在[2，b]上單調增
所以最大值為f(a)或f(b)，最大值須進一步分類討論：
注意到|a-2|=，所以進行如下分類：
1° |b-2|>，即b>
此時由于|b-2|>|a-2|，f(b)= >f(a)= 即最大值，
b="f(b)=" ，，解得b=其中b=滿足b>，
所以(a，b)="(" ， )是另一組解；
2° |b-2|<，即2<b< 。此時由于|b-2|<|a-2|，
f(b)= <f(a)= ,
即最大值b=f(a)=f()=<0，與b>2矛盾，所以這種情況不可能;
綜上所述，滿足題意的(a，b)有2對,故選 B.
考點：本題主要考查二次函數的圖象和性質，分類討論思想。
點評：難題，涉及二次函數值域問題，關注圖象的開口方向、對稱軸位置、區間端點函數值，均為基本方法。本題分類討論易于出錯，特別是第三種情況下。