Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

3

2

，它與直線x+y+1=0交于P、Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，求橢圓方程．（O為原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率的范圍求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而表示出b和a的關(guān)系，代入橢圓方程，根據(jù)OP⊥OQ判斷出x₁x₂=-y₁y₂，直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)表示出x₁x₂和y₁y₂，根據(jù)x₁x₂=-y₁y₂求得b的值．進(jìn)而橢圓的方程可得．

解答：解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由

c

a

=

3

2

得

c= 3 2 a b= 1 2 a

∴橢圓方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1，即x²+4y²=4b²設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由OP⊥OQ?x₁x₂=-y₁y₂

y=-1-x x2+4y2=4b2

?5x2+8x+4-4b2=0由△＞0?b²＞

1

5

X1+X2=-

8

5

，x₁x₂=

4-4b2

5

y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=

4-4b2

5

+(-

8

5

)+1=

1-4b2

5

∴

4-4b2

5

+

1-4b2

5

=0
b²=

5

8

＞

1

5

∴橢圓方程為

x2

5 2

+

y2

5 8

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及平面向量的幾何由意義．考查了基本知識(shí)的識(shí)記和基本的運(yùn)算能力．