Question

已知橢圓過點，且離心率為，A、B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點，若，且，其中F為橢圓的左焦點．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求A、B兩點的對稱直線在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為，所以=，因為橢圓過（1，），所以把（1，）代入橢圓方程成立，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系式，就可解出a，b的值，求出橢圓的方程．
（Ⅱ）先設(shè)出AB方程，與橢圓方程聯(lián)立，求A，B點橫坐標(biāo)之和，縱坐標(biāo)之和，再用A，B點坐標(biāo)表示AB中點坐標(biāo)，根據(jù)線段AB的垂直平分線過AB中點，且垂直AB，斜率是AB斜率的負(fù)倒數(shù)，即可寫出線段AB的垂直平分線方程，再令x=0，得到縱截距，用均值不等式求范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，，解得a²=4，b²=3
∴橢圓的方程為
（Ⅱ）A，B是橢圓上縱坐標(biāo)不為零的兩點，
∴A，F(xiàn)，B三點共線，且直線AB的斜率存在且不為0
又F（-1，0），可記AB方程為y=k（x+1），代入橢圓的方程，化簡，得
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，顯然△＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x，y），
則x==，y=k（x+1）=
直線AB的垂直平分線方程為y-y=-（x-x）
令x=0，得，y=-=-
∵|4k+|≥4，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=時取“=“
∴4k+≥4或4k+≤-4
∴線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍為[-，0]∪（0，]．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及橢圓與不等式相結(jié)合求范圍，做題時要細(xì)心．