Question

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證：a₁²+a₂²≥；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求證：a₁²+a₂²+…+a_n²≥．

Answer 1

（I）證明：構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，從而得a₁²+a₂² ，
（II）證明：構造函數
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=2x²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因為對一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
從而證得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥
分析：（I）構造函數f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²，因為對一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△≤0，從而得結論；
（II）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證a₁²+a₂² ，及整個式子的證明過程，我們根據歸納推理可以得到一個一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，則a₁²+a₂²+…+a_n²≥，但此公式是由歸納推理得到的，其正確性還沒有得到驗證，觀察已知中的證明過程，我們可以類比對此公式進行證明．
點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．（3）對歸納得到的一般性結論進行證明．