Question

如圖，F₁，F₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F₁的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=2：3：4，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．4
• B．

  15

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：不妨設△ABF₂的三條邊長分別為：|AB|=2、|BF₂|=3、|AF₂|=4，利用余弦定理算出cos∠ABF₂=-

1

4

．根據雙曲線的定義，結合題意列式算出|AF₁|=

5

2

，得2a=|AF₂|-|AF₁|=

3

2

．在△BF₁F₂中利用余弦定理算出|F₁F₂|=2c=6，由此利用離心率的公式即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=2：3：4，不妨設|AB|=2，|BF₂|=3，|AF₂|=4，
△ABF₂中，由余弦定理得cos∠ABF₂=

4+9-16

2×2×3

=-

1

4

．
由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|BF₁|-|BF₂|=|AF₂|-|AF₁|，|BF₁|=|AF₁|+|AB|=|AF₁|+2
可得|AF₁|+2-3=4-|AF₁|，解之得|AF₁|=

5

2

．
∴2a=|AF₂|-|AF₁|=4-

5

2

=

3

2

，得a=

3

4

．
∵△BF₁F₂中，|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|•|BF₂|cos∠ABF₂，
∴|F₁F₂|²=（

9

2

）²+3²-2×

9

2

×3×（-

1

4

）=36，可得|F₁F₂|=2c=6，得c=3
因此，雙曲線的離心率e=

c

a

=

3

3 4

=4．
故選：A．

點評：本題著重考查了余弦定理解三角形、雙曲線的定義與標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．