Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，能否在y軸左側(cè)的橢圓上找到一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離|MN|為點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)？若M存在，求出它的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

設(shè)存在符合題意的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（m，n）（m＜0）
由橢圓的方程，可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
于是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
且左準(zhǔn)線l的方程為：x=

a2

c

，即x=-4，可得|MN|=m+4，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴由|MN|是|MF₁|和|MF₂|的等差中項(xiàng)，得2|MN|=|MF₁|+|MF₂|=4，解之得|MN|=2，
∵|MN|=m+4，∴m+4=2，解之得m=-2，代入橢圓方程得n=0
因此，存在點(diǎn)橢圓上點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，0），滿足點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離|MN|為點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)．