Question

已知函數是奇函數，又．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x∈（0，+∞）時，討論函數的單調性，并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用奇函數的定義f（-x）=-f（x）求出c的值，再利用x=1和x=2的函數值列出關于a，b的方程組求出a，b即得；
（2）先任意取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，注意變形到等價且到位．
解答：解：（1）∵f（x）為奇函數．
∴f（-x）=-f（x），
，
∴對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
恒成立
∴c=0（2分）
又，且
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）
得x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩實數，且x₁＜x₂

=（7分）
當x₁，x₂∈（0，1）時，x₁x₂-1＜0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴，即f（x₁）＞f（x₂）（9分）
當x₁，x₂∈（1，+∞）時，x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴即f（x₁）＜f（x₂）（11分）
∴f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．（12分）
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．