Question

函數f(x)=

ax+b

x2+1

是奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

，
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：f（x）在（-1，1）上是增函數．

Answer 1

分析：先根據函數為奇函數即f（-x）=-f（x）求得b=0，再根據f(

1

2

)=

2

5

求得a=1，得到f（x）的解析式；利用增函數的定義證明f（x）的單調性．

解答：解：（1）f（0）=0得，b=0，再根據f(

1

2

)=

2

5

，得a=1，∴f(x)=

x

x2+1

（2）f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，令f′（x）＞0得x∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上是增函數．

點評：本題考查了函數奇偶性及函數的單調性，函數的性質是高考考試的熱點，要會運用函數的奇偶性和單調性進行解題．證明函數的單調性的方法為：定義法和導數法．屬基礎題．