Question

已知函數(shù)f（x）=

x+2

x-6

，
（1）當(dāng)f（x）=2時(shí)，求x的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，并求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=

x+2

x-6

=2，解方程可求出x的值；
（2）任取2≤x₁＜x₂≤4，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性的定義，可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值．

解答：解：（1）若令f（x）=

x+2

x-6

=2
即x+2=2（x-6）
解得x=14
（2）任取2≤x₁＜x₂≤4，
則x₂-x₁＞0，x₁-6＜0，x₂-6＜0，
f（x₁）-f（x₂）=

x1+2

x1-6

-

x2+2

x2-6

=

8(x2-x1)

(x1-6)(x2-6)

＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值-1，
當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的值，函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，證明及應(yīng)用是解答的關(guān)鍵．