Question

給出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得冪函數f（x）=x^a為奇函數；指數函數g（x）=a^x在區間（0，+∞）上為增函數．
（1）試寫出所有符合條件的a，說明理由；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調性，并證明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

Answer 1

解：（1）a=3．…1分
∵指數函數g（x）=a^x在區間（0，+∞）上為增函數，
∴a＞1，
∴a只可能為2或3．
而當a=2時，冪函數f（x）=x²為偶函數，
只有當a=3時，冪函數f（x）=x³為奇函數．
（只需簡單說明理由即可，無需與答案相同）…2分
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數．…1分
證明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁³-x₂³
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）
=，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數．…3分
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，
g[f（x）]=，
∴3^3x=，…2分
根據指數函數的性質，
得3x=x³，
∴x₁=0，x₂=，x₃=． …1分．
分析：（1）由指數函數g（x）=a^x在區間（0，+∞）上為增函數，知a＞1，由冪函數f（x）=x^a為奇函數，知a=3．
（2）f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數．用定義法進行證明：在（0，+∞）上任取x₁，x₂，x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=，由x₁＜x₂，知x₁-x₂＜0，＞0，f（x₁）＞f（x₂）．由此知f（x）=x³在（0，+∞）上為增函數．
（3）f[g（x）]=（3^x）³=3^3x，g[f（x）]=，所以原方程等價于3^3x=，由此能求出結果．
點評：本題考查冪函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．