Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）的導函數f′（x）的圖象上的一個最高點和與它相鄰的一個最低點的坐標分別為M（-，3），N（，-3）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數f（x）的圖象向右平移個單位得到函數g（x）圖象，直線x=t（t∈[0，]）與f（x），g（x）的圖象分別交于P，Q兩點，求|PQ|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知，f^′（x）=A?cos（?x+φ），函數f^′（x）的周期 ，∴．又A?=3，∴A=2．
∵是最高點坐標，∴φ=0，∴φ=．∴．（5分）

（Ⅱ）．（7分）
∴|PQ|=|f（t）-g（t）|=．
∵t，∴∴|PQ|∈[1，2]．
∴|PQ|的最大值為2．．（12分）
分析：（Ⅰ）由題意知，f^′（x）=A?cos（?x+φ），由相鄰的兩個頂點的坐標可求A、?，再由五點法作圖可求φ．
（Ⅱ）由函數f（x）的解析式求得函數g（x）的解析式，化簡∴|PQ|=|f（t）-g（t）|的解析式，
得到|PQ|=2|cos（t+）|，由 0≤t≤，求|PQ|的最大值．
點評：本題考查求函數的導數的方法，求函數解析式的方法，應用三角公式化簡三角函數式以及求三角函數的值域．