Question

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，.（1）求證：；（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）本小題證明的是線線垂直，把問題轉化為證明線面垂直（線面垂直線線垂直），即證平面，從而有；（2）本小題可從傳統幾何方法及空間向量方法入手，法一：先證，為等邊三角形，取的中點，連結，，可證得為二面角的平面角，在三角形FMP中用余弦定理的推論完成求值；法二：利用空間向量解決面面角問題，只需找到這兩個面的法向量，利用公式完成計算即可，但要注意本題面面角為鈍二面角.
試題解析：（1）證明：連結，因，是的中點，故．又因平面平面，故平面，于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以．

（2）解法一：由（1），得．不妨設，．因為直線與平面所成的角，故，所以，為等邊三角形．設，則，分別為，的中點，也是等邊三角形．取的中點，連結，，則，，所以為二面角的平面角．在中，，，故，即二面角的余弦值為．
解法二：取的中點，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．不妨設，，則，，，，從而，.

設平面的法向量為，由，得，可取．同理，可取平面的一個法向量為．于是，易見二面角的平面角與互補，所以二面角的余弦值為．線線垂直），求二面角的余弦值（可用尋找其二面角的平面角，也可用空間向量知識完成）.