Question

設函數，其中

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）求的極值點；

（3）證明對任意的正整數，不等式都成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）單調遞增（2）無極值（3）見解析

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用

（1）利用函數的導數得到導數符號與單調性的關系的運用。

（2）在第一問的基礎上分析得到極值點。

（3）對于不等式恒成立的證明，主要是轉化為函數的最值問題來處理的數學思想的運用。

解：（1）由題意知，，），

設，其圖象的對稱軸為，，

所以

即，上恒成立，

，時，，

，上單調遞增。

（2）①由（1）得，函數無極值點；

②時， 有兩個相同的解，

，，；，時，，

，上無極值；

③時，：

，      

，，，

：

	，		，
	－	0	+
	減	極小值	增

由此表可知：，有唯一極小值點；

當時，，所以，，

此時，：

	，		（，）		，
	+	0	－	0	+
	增	極大植	減	極小值	增

由此表可知：時，有一個極大值點和一個

極小值點

綜上所述，：，有唯一極小值點； 時，有一個極大值點和一個極小值點；，無極值點。

（3）設，1〕，則不等式化為，

即

設函數，則

所以，當時，函數在〔0，1〕上單調遞增，又

，1〕時，恒有，即，

因此不等式成立