Question

已知函數(shù)，其中.

    (1)若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；

    (2)在函數(shù)的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率  

      為k，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不

      存在，請說明理由.

Answer 1

（1）若，則對一切，，這與題設矛盾，又，

故.

而令

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當

　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令則

當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當即時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（2）由題意知，

令則

令，則.

當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.

故當，即

從而，又

所以

因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當且僅當時， .

綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.