Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）的極小值；
（2）若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍；
（3）設g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x³-3ax，得f′（x）=3x²-3a，當f′（x）＞0，f′（x）＜0時，分別得到f（x）的單調遞增區(qū)間、單調遞減區(qū)間，由此可以得到極小值為f（1）=-2．
（2）要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，只需令直線的斜率-1小于f（x）的切線的最小值即可，也就是-1＜-3a．
（3）由已知易得g（x）為[-1，1]上的偶函數(shù)，只需求在[0，1]上的最大值F（a）．有必要對a進行討論：①當a≤0時，f′（x）≥0，得F（a）=f（1）=1-3a；②當a≥1時，f（x）≤0，且f（x）在[0，1]上單調遞減，得g（x）=-f（x），則F（a）=-f（1）=3a-1；當0＜a＜1時，得f（x）在[0，]上單調遞減，在[，1]上單調遞增．當f（1）≤0時，f（x）≤0，所以得g（x）=-f（x），F(xiàn)（a）=-f（）=2a，當f（1）＞0，需要g（x）在x=處的極值與f（1）進行比較大小，分別求出a的取值范圍，即綜上所述求出F（a）的解析式．
解答：解：（1）∵當a=1時，f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，當f′（x）＜0，即x∈（-1，1）時，f（x）為減函數(shù)；當f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]，或x∈[1，+∞）時，f（x）為增函數(shù)．∴f（x）在（-1，1）上單調遞減，在（-∞，-1]，[1，+∞）上單調遞增∴f（x）的極小值是f（1）=-2
（2）∵f′（x）=3x²-3a≥-3a，∴要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，當且僅當-1＜-3a時成立，∴
（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a．
②當a＞0時，，
（ⅰ）當時，g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上單調遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當時，當f′（x）＞0，即x＞或x＜-時，f（x）單調遞增；當f′（x）＜0，即-＜x＜時，f（x）單調遞減．所以，在單調遞增．
1°當時，，；
2°當
（ⅰ）當
（ⅱ）當
綜上所述
點評：本題綜合性較強，主要考查導數(shù)的單調性、極值、最值等函數(shù)基礎知識，尤其第三小題，考查帶有參數(shù)的函數(shù)題型，更是值得推敲，希望在平時，多加練習，掌握其要領．