Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同時為零的常數），導函數為f′（x）．
（1）當時，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數y=f′（x）在（-1，0）內至少有一個零點；
（3）若函數f（x）為奇函數，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當時，f′（x）==，由二次函數的性質，分類討論可得答案；
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），所以f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，．再由a，b不同時為零，所以，故結論成立；
（3）將“關于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數根”轉化為“函數f（x）與的交點”問題解決，先求函數f（x）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，可解得b=0，所以f（x）=ax³-ax，再由“f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0”解得a，從而得到f（x），再求導，由，知f（x上是増函數，在上是減函數，明確函數的變化規律，再研究兩個函數的相對位置求解．
解答：解：（1）當時，f′（x）==，
其對稱軸為直線x=-b，當，解得，
當，b無解，
所以b的取值范圍為；（4分）
（2）因為f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），
∴f′（0）=b-a，f'（-1）=2a-b，．
由于a，b不同時為零，所以，故結論成立．
（3）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0．
所以a=1，即f（x）=x³-x．因為
所以f（x）在上是増函數，
在上是減函數，由f（x）=0解得x=±1，x=0，
如圖所示，當時，，即，解得；
當時，，解得；當t=0時，顯然不成立；
當時，，即，解得；
當時，，故．
所以所求t的取值范圍是或．
點評：本題主要考查利用導數法研究函數的單調性，主要涉及了函數的奇偶性，函數的圖象和性質以及方程的根轉化為函數圖象的交點解決等問題．