Question

函數f（x）=x²-4x-4在閉區間[t，t+1]（t∈R）上的最小值記為g（t）．
（1）試寫出g（t）的函數表達式．
（2）作出g（t）的圖象并求出g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于函數f（x）=x²-4x-4 的對稱軸為 x=2，分對稱軸在閉區間的左邊、中間、右邊三種情況，分別求得函數f（x）的最小值，可得g（t）的解析式．
（2）作出g（t）的圖象，數形結合可得，g（t）的最小值．

解答：解：（1）由于函數f（x）=x²-4x-4 的對稱軸為 x=2，
當2＜t時，函數f（x）在閉區間[t，t+1]上單調遞增，
故函數的最小值g（t）=ft）=t²-4t-4．
當t≤2≤t+1，即 1≤t≤2時，
函數的最小值g（t）=f2）=-8．
當t+1＜2，即t＜1時，函數f（x）在閉區間[t，t+1]上單調遞減，
故函數的最小值g（t）=ft+1）=t²-2t-7．
綜上可得，g（t）=

t2-4t-4 ， t＞2 -8  ，1≤t≤2 t2-2t-7  ，t＜1

．
（2）作出g（t）的圖象，如圖所示：
數形結合可得，g（t）的最小值為-8．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，函數的圖象的作法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．