Question

若實數a＞0且a≠2，函數f(x)=

1

3

ax3-

1

2

(a+2)x2+2x+1．
（1）若a＞2，求函數f（x）的單調區間；
（2）若在區間（0，+∞）上存在一點x₀，使得f（x₀）＜1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導數，通過a＞2，列出導函數的值的符號，確定函數f（x）的單調區間；
（2）通過f（0）=1，利用（1）要使在區間（0，+∞）上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在區間（0，+∞）上f（x）_極小值＜1，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

ax3-

1

2

(a+1)x2+2x+1
∴f′(x)=ax2-(a+2)x+2=a(x-1)(x-

2

a

)…（2分）a＞2時，列表如下，

x	(-∞， 2 a )	2 a	( 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數在x=1處取極值，f(x)的單調遞增區間是(-∞，

2

a

)和(1，+∞)
單調遞減區間是(

2

a

，1)…（6分）
當0＜a＜2時，列表如下，

x	（-∞，1）	1	(1， 2 a )	2 a	( 1 a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數f(x)在x=1處取極值，h(x)的單調遞增區間是(-∞，1)和(

2

a

，+∞)
單調遞減區間是(1，

2

a

)…（6分）
（2）因為f（0）=1，由（1）知要使在區間（0，+∞）上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＜1成立，只需在區間（0，+∞）上f（x）_極小值＜1即可．…（8分）
當a＞2時，f（x）_極小值=f（1）=2-

a

6

＜1，所以a＞6．…（10分）
當0＜a＜2時，f(x)極小值=f(

2

a

)=1+

2(3a-2)

3a2

＜1恒成立，所以0＜a＜

2

3

．…（12分）
綜上所述，實數a的取值范圍為(0，

2

3

)∪(6，+∞)…（13分）

點評：本題是中檔題，考查函數的導數，函數的單調性的應用，考查轉化思想計算能力，同時注意分類討論思想．近幾年高考必考內容．