Question

1．已知函數f（x）=kx³-3kx²+b在區間[-2，2]上的最大值為3，最小值為-17，求k，b的值．

Answer 1

分析 求出函數的導數，通過討論k的范圍，求出函數f（x）的單調區間，得到關于k，b的不等式組，解出即可．

解答 解：由題設知k≠0且f'（x）=3kx（x-2），0＜x＜2時，x（x-2）＜0；
x＜0或x＞2時，x（x-2）＞0； x=0和x=2時，f'（x）=0．
由題設知-2≤x≤2，f（-2）=-20k+b，f（0）=b，f（2）=-4k+b
①k＜0時，-2＜x＜0時，f'（x）＜0；0＜x＜2時，f'（x）＞0，
∴f（x）在[-2，0）上遞減，在（0，2]上遞增，
x=0為最小值點；∵f（-2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（-2），
即$\left\{\begin{array}{l}{-20k+b=3}\\{b=-17}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-17；
②k＞0時，$\left\{\begin{array}{l}{-20k+b=-17}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得k=1，b=3．
綜上，k=-1，b=-17或k=1，b=3．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．