Question

已知某海濱浴場的海浪高度y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數，記作y=f（t）．表是某日各時的浪高數據：

t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

經長期觀察，y=f（t）的曲線可近似地看成是函數y=Asin（ωt+

π

2

）+b的圖象．
（1）根據以上數據，求出函數y=Asin（ωt+

π

2

）+b的最小正周期T，振幅A及函數表達式；
（2）依據規定，當海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）的結論，判斷一天內的上午8：00到晚上20：00；之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？

Answer 1

分析：（1）依題意，知周期T=12，從而可求ω；再由t=0，y=1.5與t=3，y=1.0可求得A與b，從而可得函數y=Asin（ωt+

π

2

）+b的表達式；
（2）由題意知，

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1＞1⇒cos（

π

6

t）＞0⇒12k-3＜t＜12k+3（k∈Z），與0≤t≤24聯立即可求得答案．

解答：解：（1）由表中數據，知周期T=12，
∴ω=

2π

T

=

2π

12

=

π

6

．
由t=0，y=1.5，得A+b=1.5--①，
由t=3，y=1.0，得b=1.0--②，
由①②聯立解得A=

1

2

，b=1，
∴振幅為

1

2

，函數表達式為y=

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1．
（2）由題意知，當y＞1時才可對沖浪者開放，由

1

2

sin（

π

6

t+

π

2

）+1＞1，得cos（

π

6

t）＞0，
∴2kπ-

π

2

＜

π

6

t＜2kπ+

π

2

，
即12k-3＜t＜12k+3（k∈Z）--③，
∵0≤t≤24，
∴可令③中k分別為0，1，2，得0≤t≤3或9＜t＜15或21＜t＜24．
∴在規定時間上午8：00到晚上20：00之間，有6個小時可供沖浪者運動，即上午9；00到下午15：00．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查方程思想與解決實際應用問題的能力，屬于難題．